浮点数的计算机表示（IEEE 754），由 UCB 数学教授 William Kahan 主要起草。后者也因其卓越贡献于1989年获得图灵奖。计算机组成原理与汇编语言这两门课均对该内容有所讲解。与课程中直接抛出公式与概念不同，我想首先与各位探讨"科学计数法"这个概念，进而讨论设计二进制的科学计数法需要涉及到哪些元素。接着，我们讨论如何在内存上表达这个方案。最后讨论计算机的具体实现。
科学计数法
我们都了解科学计数法。科学计数法的精妙之处在于，其将"量级"与"数值"两个信息拆分，让使用者对这两个信息更加明确。
如上，我们可以将任何有理数拆分成的形式。值得注意的是：
的取值范围是 一定是一个整数
对于任何有理数，我们都可以用两个范围狭小（规则明确）的数字 B 与 C 来表示。
此外，我们知道，十进制只不过是记录数字大小的一种方式而已。历史上出现过的二进制、三进制、二十进制，都可以毫无障碍地表示数字，并且还有其独具的数学特性。
那么，二进制可以用科学计数法表示吗？答案当然是肯定的。
二进制的科学计数法
注意，这里下标2，代表这个数是二进制。 同理，对应十进制中的数字。
通过观察十进制的科学计数法形式，对于二进制，我们自然可以做出如下约定：
的取值范围是 一定是一个整数
这里我们补充说明一下，二进制的小数是什么样的。对于 这个十进制数，如果要将其转换为二进制：
将其整数部分与小树部分分开； 对于整数部分 5，我们使用"不断除以2取余数"的方法，得到101;对于小数部分 .25，我们使用"不断乘以2取整数"的方法，得到.01。
关于进制转换的具体方法与背后的数学原理，我写过一篇文章进行讨论，见这里：十进制转二进制 / 八进制 / 十六进制的手算方法，及其数学原理的通俗解释。
这里，我们只需要明确，二进制是存在小数形式的，且可以表示一切十进制可表示的数（的近似）。
计算机如何记录二进制的科学计数法
接着，我们步入正题：只会表示0/1的计算机，如何记录并表达浮点数呢？
给一个32位的空间，如果不做任何约束，我们只能将其理解为一个整数，并且其取值范围为 。
这是因为，计算机只能记录 0 和 1 这两个信息，并不能直接记录小数点点在哪里。因此，我们需要设置一定规则，取出一定位，用于表示小数点点在哪里。这必将牺牲一定的精度与取值范围。
因此，我们将这 32 位空间分为三部分：
第一部分，用于表示 精度，即这个数字值是多少，对应上面的B；第二部分，用于表示 小数点，即量级，对应上面的C；第三部分，用于表示 正负，只需要使用1位。
在 IEEE 754 中，我们分别将上述一、二、三部分叫做尾数M，阶码E，符号s。
于是我们有了二进制的表达式：
为了表示尽可能多的、常用的小数，我们有如下需求：
对于符号位 s ，如果该位上是 0 ，则为正数；为 1 ，则为负数。 对于尾数 M ，其取值范围为 ； 对于阶码 E ，其为一个整数，并且取值范围应该包含负数、0、正数。
可以注意到，对于 M 、 E ，我们并不能直接用二进制表示，还需要设定一定规则。
尾数 M
假设尾数 M 一共有 f 位，则 f 可表示的整数取值范围为 ，我们称 f 直接对应的非负整数为 C 。为了将其投影到 ，我们做出如下变换：
解码 E
假设解码 E 一共有 e 位，则 e 可表示的整数取值范围为 ，我们称 e 直接对应的非负整数为 Exp 。我们希望 E 可以取到负数，因此做出如下变换：
这样，我们的 E 取值范围就来到了 。
总结
有了如上设计的规则，我们便知晓了计算机记录浮点数的方式，以及转换流程。以下图为例。
知识点与例题
上面我们讨论了 IEEE 754 的思想，但是并不严谨，比如：
正负无穷该怎么表达？ 如此表示会不会造成空间的浪费？ ...
因此，我们从数学上严谨地讨论一道例题，考虑一下规格化浮点数。例题源自我的汇编语言笔记。
题目
给定一个浮点格式(IEEE 754)，有k位指数和n位小数，对于下列数，写出阶码E、尾数M、小数f和值V的公式。另外，请描述其位表示。
数5.0； 能够被准确描述的最大奇数； 最小的正规格化数。
解决
前置知识一：IEEE 754
IEEE 754约定，计算机中浮点数二进制表示为：
数字形式：
符号：s 尾数：M，是一个位于区间[1.0, 2.0)内的小数 阶码：E
编码形式：
| s | exp | frac |
|---|
exp域：E（注意，E要进行变换，再存储在exp中）； frac域：M。
前置知识二：规格化浮点数（Normalized）
这里讨论到规格化浮点数（Normalized）：
满足条件：exp不全为0且不全为1。 真实的阶码值需要减去一个偏置（biased）量： 单精度数：127（Exp：1...254，E：-126...127） 双精度数：1023（Exp：1...2046，E：-1022...1023） ，e = exp的域的位数 E = Exp - Bias Exp：exp域所表示的无符号数值 Bias的取值： frac的第一位隐含1：M = 1.xxx...x_2 因此第一位的“1”可以省去，xxx...x：bits of frac Minimum when 000...0 () Maximum when 111...1 ()
前置工作一：整理变量关系
则E为
E最大值为。（为什么不是呢？因为有规定：exp全部取1为“非规格化浮点数”，因此规格化浮点数中exp不能全部取1，顶多为(1)*(0)）
E的最小值为。（为什么不是呢？因为有规定：exp全部取0为“非规格化浮点数”，因此规格化浮点数中exp不能全部取0，顶多为(0)*(1)）
前置工作二：总结特性
抛开例题，来看一个例子：
8位浮点数表示：exp域宽度为4 bits，frac域宽度为3 bits。则，其偏置量的值为2^(4-1) - 1 = 7. 其他规则符合IEEE 754规范。
取值范围如下表。
| s | exp | frac | E | value |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 000 | -6 | 0 |
| 0 | 0000 | 001 | -6 | 1/8 * 1/64 = 1/512 |
| 0 | 0000 | 010 | -6 | 2/8 * 1/64 = 2/512 |
| ... | ||||
| 0 | 0000 | 110 | -6 | 6/8 * 1/64 = 6/512 |
| 0 | 0000 | 111 | -6 | 7/8 * 1/64 = 7/512 |
| 0 | 0001 | 000 | -6 | 8/8 * 1/64 = 8/512 |
| 0 | 0001 | 001 | -6 | 9/8 * 1/64 = 9/512 |
| ... | ||||
| 0 | 0110 | 110 | -1 | 14/8 * 1/2 = 14/16 |
| 0 | 0110 | 111 | -1 | 15/8 * 1/2 = 15/16 |
| 0 | 0111 | 000 | 0 | 8/8 * 1 = 1 |
| 0 | 0111 | 001 | 0 | 9/8 * 1 = 9/8 |
| 0 | 0111 | 010 | 0 | 10/8 * 1 = 10/8 |
| ... | ||||
| 0 | 1110 | 110 | 7 | 14/8 * 128 = 224 |
| 0 | 1110 | 111 | 7 | 15/8 * 128 = 240 |
| 0 | 1111 | 000 | n/a | inf |
可以看出，假设frac有f位，则M可视为：
其中，C是整数，由frac决定，即；
并且C满足。
则浮点数V的十进制即为：
也可写作：
其中，、分别为exp、frac位数，为常数。
解决问题一：数0.5
较为简单，直接解决如下。
0.5 // 转换为二进制 ==>
0.1 // 移动小数点，使其在最左边的1之后
M = 1.0 // 小数点后的数字存储在frac中
E = -1 // 因为是左移
frac= 0* // 共n位
exp = E + Bias
= -1 + (2^(e-1) - 1)
则，位的描述为：
| s | exp | frac |
|---|---|---|
| 0 | bin(-1 + (2^(e-1) - 1)) | 00....(共n位) |
解决问题二：能够被准确描述的最大奇数
根据前置工作二，可以看出，对于规格化浮点数可化简为：
现在的任务有两个：
是整数，不能有小数（则应大于等于）； 是奇数（不是奇数，因此使为奇数，则取1，则取）。
下面分类讨论：
情况一：E可以取到f时，
即时，
取，取其能取的最大奇数，对应的二进制为：
exp：dec2bin()，frac：1*（frac全为1）
情况二：E取不到f时，
这种情况不可能，因为E取不到f，则很多整数都不能表示。
解决问题三：最小的正规格化数
观察：
则取，、分别取最小。
由前置工作一，取，取，对应的二进制为：
exp：0*1，frac：0*
后记：我第一学习浮点数是在2019年年末，当时对于浮点数的笔记和理解是有问题的。在此感谢一位湖南大学的朋友（公众号 / CSDN：梓酥），给我发邮件，指出我的问题~
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