伯努利家族，又译贝努利家族。17～18世纪瑞士巴塞尔的数学和自然科学家的大家族，祖孙三代，出过十多位数学家。原籍比利时安特卫普，1583年遭受天主教迫害，迁往德国法兰克福，最后定居巴塞尔，主要成员的世系如下图所示。最重要的是雅各布第一·伯努利、约翰第一·伯努利和丹尼尔第一·伯努利。一、贡献雅各布·伯努利一生最有创造力的著作就是1713年出版的《猜度术》，在这部著作中，他提出了概率论中的“伯努利定理”，该定理是“大数定律”的最早形式，由于“大数定律”的极端重要性，1913年12月圣彼得堡科学院曾举行庆祝大会，纪念“大数定律”诞生200周年。雅各布·伯努利的遗著《猜度术》奠定了概率论作为一门独立数学分支的基础，其中首次提出了后来称为“伯努利定理”的极限定理，刻画了大量经验观测中呈现的稳定性，伯努利定理作为大数定律的最早形式在概率论发展史上占有重要地位。因而雅各布·伯努利的著作《猜度术》是概率论发展史上的具有“里程碑”式的事件。雅各布对概率论的发展做出两项革命性的贡献：（1）第一次对主观概率的概念进行了清晰的解释。（2）第一次给出了大数定律的证明。二、概率的观点伯努利在书中对概率的概念花了不少篇幅进行讨论，发表了一些对以后有影响的观点。他也是采取把概率区分为客观概率和主观概率的立场。有些论述也兼收了前人的观点，值得注意的新看法，归纳起来有以下几点。（1）在客观概率中，他明确区分了“可以先验地计算”的概率和“后验地计算”的概率。前者是指基于对称性即等可能性的考虑去计算，它不用进行实际观察，如掷一个均匀骰子，则基于对称性，“掷出偶数点”的概率为1/2。这不待多次掷骰子去观察其频率即可推知。而“出生男孩”这一事件的概率，则须观察大量的新生婴儿才能算出。用现代语言说，伯努利在客观概率中，明确区分了现代称之为“古典概率”和“统计概率”这两种情况。注意此处“先验”一词与Bayes统计中的“先验分布”无关。（2）伯努利对事物采取了一种机械决定论的立场，或是说，世界上的事物受严格的因果律的支配。他分析掷骰子这个例子，认为：若把一切有关条件全弄准了，则投掷结果也唯一确定了。因而并不存在随机性，后来拉普拉斯也是采取这一立场，反驳这一说法的一个可能的论点是：根据量子力学中海森堡的“测不准原理”，你不可能把一切有关的初始条件同时弄准确，因而也就失掉了精确预言骰子投掷结果的根据。然而，爱因斯坦对测不准原理有怀疑。他曾说过“上帝不掷骰子”。（3）伯努利引进了所谓“道德确定性”（moralcerfainty）的概念。一件事情，虽不能断言其绝对的确定性，但若它被公认为以极大的可能性以至几乎不可能不发生，就称为有“道德确定性”。这个概念日后在统计推断中有重大影响，如（1-α）置信区间。现在我们把这说成“事实上的确定性”（practicalcertainty），或者“小概率事件原理”。（4）在涉及主观概率的问题中，当有若干种可能性存在，而没有任何论据去支持给予某一特定的可能性以优先的考虑时，伯努利提出给予这些可能性以同等的概率。这一思想后来在贝叶斯（均匀先验分布）和拉普拉斯（不充分理由的原则）中得到发展。在Bayes学派统计学的发展中起了重大的作用。三、伯努利大数定律概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有公式该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。四、历史评价《猜度术》是雅各布·伯努利一生中最有创造力的著作，该书的出版标志着概率论已建立在稳固的数学基础上并成为一门独立的数学分支。对于《猜度术》史学家们已有各种评价，在此本人不想多谈，正如美国概率论史学家海金（Hacking）所说此书为“概率概念漫长形成过程的终结与数学概率论的开端。”时至今日，雅各布的概率思想在概率领域仍有着重要的影响。往期相关文章惠更斯的《论赌博中的计算》研究概率论的诞生概率论的孕育概率论的思想方法和历史(一)长按二维码识别关注我们 查看全文
最重要的是雅各布第一·伯努利、约翰第一·伯努利和丹尼尔第一·伯努利。
